☛ Limite de limite

Pour tout entier $n⩾1$ , on considère la fonction $f_n$  définie sur  $[0;+\mathrm{\infty }[$ par $f_n(x)={\displaystyle \frac{1}{1+x^n}}$ . On note  ${\mathcal{C}}_n$ la courbe représentative de $f_n$ .

1. ${\mathrm{\forall }}_n⩾1,f_n(0)=1$  et  $f_n(1)={\displaystyle \frac{1}{2}}$ donc toutes les courbes  ${\mathcal{C}}_n$ passent par $\text{A}(0;1)$  et $\text{B}(1;{\displaystyle \frac{1}{2}})$ .

2. $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}(1+x^n)=+\mathrm{\infty }$   donc $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{f}_n(x)=0$ .

3. a. Le graphique suggère que : 
si $x\in [0;1[,\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{f}_n(x)=1$ .
si $x=1,\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{f}_n(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}$
si $x\in ]1;+\mathrm{\infty }[,\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{f}_n(x)=0$ .

    b. Si $x\in [0;1[,$  alors  $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{x}^n=0.$  D'où $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{f}_n(x)=1$ .
Si $x={\displaystyle \frac{1}{2}},$  alors $f_n(1)={\displaystyle \frac{1}{2}}$ . $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{f}_n(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}$ .
Si $x\in ]1;+\mathrm{\infty }[,$  alors $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{x}^n=+\mathrm{\infty }.\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{f}_n(x)=0$

4. D’après ce qui précède, $f(x)=\{\begin{array}{ll}1& \text{si}x\in [0;1[\\ 1/2& \text{si}x=1\\ 0& \text{si}x\in ]1;+\mathrm{\infty }[\end{array}$

L'affirmation revient à prouver qu'il existe un réel positif $x_0$  tel que   $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}(\underset{x\to x_0}{lim}{f}_n(x))\ne \underset{x\to x_0}{lim}f(x)$ .

On pose  $x₀=1⁺$ .

$\underset{x\to 1^{+}}{lim}{f}_n(x)=f_n(1)$  car la fonction   $f_n$ est continue en $1$ .
Donc  $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}(\underset{x\to 1^{+}}{lim}{f}_n(x))=\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{f}_n(1)={\displaystyle \frac{1}{2}}$  mais $\underset{x\to 1^{+}}{lim}f(x)=0$ .
Par conséquent, $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}(\underset{x\to 1^{+}}{lim}{f}_n(x))\ne \underset{x\to 1⁺}{lim}(\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{f}_n(x))$ . Yanis avait donc raison.

Remarque

On dit que la suite de fonctions $(f_n)$   ne converge pas uniformément vers  $f$ sur ${\mathbb{R}}_{+}$ .